Урок 19. Символьные вычисления в Mathcad – ключевые слова и модификаторы

В этом уроке мы исследуем различные вариации результатов символьных вычислений с использованием ключевых слов и модификаторов. Мы будем применять их для нахождения символьного результата решения уравнений и для разложения функции в многочлен.

Решение уравнений

В качестве первого примера решим квадратичное уравнение:

Обратите внимание, что в записи используется булево равенство. Чтобы решить уравнение, щелкните по нему и вставьте оператор символьного преобразования. В результате получилось то же уравнение:

Нужно добавить ключевое слово “solve” в местозаполнителе над стрелкой:

Так как уравнение содержит четыре переменных, нужно указать, для какой именно следует решить уравнение. В нашем случае это переменная x. Для этого наберите запятую за словом “solve”. В результате появится местозаполнитель для модификатора x:

Как видно, уравнение имеет два корня.

В следующем примере мы рассмотрим кубическое уравнение. Для констант следует указать значения, так как общее решение будет слишком громоздким.

Получено три корня уравнения, два из которых являются комплексными. Комплексное решение можно подавить, используя второе ключевое слово “assume” и модификатор  “real” :

Другой пример – пересечение двух окружностей одного радиуса. Точки пересечений должны удовлетворять сразу двум уравнениям. Одна окружность смещена на расстояние ? вдоль оси абсцисс.

Чтобы решить систему, запишем уравнения в вектор. Так как нужно решить и для переменной x, и для переменной y, необходимо записать два модификатора:

Ответ представлен в качестве матрицы. Здесь два решения – две строки матрицы: «иксы» – первый столбец (они равны), «игреки» — второй (они различны). Если ?>2r, решение будет комплексным.

Перед тем, как решать уравнение, упростите его, насколько можете. Но даже в этом случае решение может получиться громоздким, или оно вообще может быть не найдено.

Ключевые слова “series” и “coeffs”

Mathcad может разложить функцию в ряд – с помощью ключевого слова “series”. Вы можете добавить два местозаполнителя с помощью запятых:

Главный местозаполнитель содержит ключевое слово, второй – переменную, а третий – порядок разложения. Разложение выполняется в окрестности точки 0.

Если нужно разложить, например, натуральный логарифм в окрестности точки x=1, добавьте еще один модификатор:

Можно проверить, насколько полученное разложение соответствует изначальной функции:

В Mathcad можно вычислять сумму ряда символьно:

Тесно связанно с “series” ключевое слово “coeffs”. Проиллюстрируем ее на примере разложения экспоненты:

“Coeffs” дает вектор коэффициентов любого многочлена. Этот вектор начинается с низшего порядка.

Ключевые слова можно комбинировать:

Резюме

В этом уроке мы познакомились с ключевыми словами “solve”, “series” и “coeffs”:

1. Ключевые слова вводятся над стрелкой оператора аналитического преобразования.
2. Модификаторы следует вводить за ключевым словом через запятую.
3. Ключевое слово “solve” решает уравнение, введенное перед ним.
4. С помощью модификатора определите ключевому слову “solve”, для какой переменной следует решить уравнение.
5. Вывод можно ограничить, используя модификаторы с булевыми функциями.
6. Систему уравнений для решения с помощью “solve” следует поместить в вектор.
7. Ключевое слово “series” может разложить функцию в ряд.
8. Важные модификаторы для ключевого слова series:

• переменная, по которой происходит разложение;
• порядок разложения;
• точка, в окрестности которой происходит разложение.

9. Вектор коэффициентов ряда (или другого многочлена) можно найти с помощью ключевого слова “coeffs”.