Top menu

Урок 23. Нелинейные уравнения в Mathcad

Mathcad может решать системы линейных и нелинейных уравнений с помощью встроенных алгоритмов. На самом деле, «решать» — не совсем верное определение того, что делает программа. Лучше рассуждать так: Вы задаете приближенное значение, затем программа уточняет эту оценку. Поэтому, используя такую технологию решения, нужно знать, что Вы делаете. Вы должны понимать, как ведет себя функция, которую исследуете. Иначе Вы можете быть разочарованы.

Изучение «решения» начнем с уравнений с одной переменной. В этом случае поведение уравнения можно понять, построив график. Позже мы рассмотрим системы уравнений.

Уравнения с одной переменной

Уравнение, которое мы рассмотрим, достаточно простое:

mathcad_23_01

Рассмотрим это уравнение как пересечение прямой линии (левая часть) и парабола (правая часть). Построим графики трех прямых линий и посмотрим, что произошло:

mathcad_23_02

mathcad_23_03

Первая (самая верхняя) линия дважды пересекается с параболой около точек x=-0.3 и x=1.3. У второй линии – одно пересечение (или два близко расположенных) возле точки x=0.5. Пересечений с третьей прямой (самой нижней) нет.

Решения

Сначала рассмотрим самую верхнюю линию. Чтобы получить решение, нам нужен Блок решения (вкладка Математика –> Области –> Блок решения). Заполним блок для решения первого уравнения:

mathcad_23_04

Здесь есть три области для различных записей:

— начальные приближения;

— ограничения;

— решатель.

В области ограничений мы записали уравнение, которое хотим решить. В первой области мы задали приближенное решение этого уравнения. Функция Find(), которую мы записали в последней области – это решатель.

Как видно, решение 1.366 – это правое пересечение прямой и параболы. Начальное приближение не критично – можно ввести 1.6, щелкнуть мышью вне блока и получить тот же результат:

mathcad_23_05

Изменим начальное приближение на значение, близкое к левому пересечению, скажем, -0.5. Решение изменится на -0.366:

mathcad_23_06

Измените начальное приближение обратно на 1.3.

Теперь поменяем константу 0.5 в уравнении на -0.25. Решение изменится на 0.5:

mathcad_23_07

Этот же ответ мы будем получать для любого значения начального приближения – это единственное решение.

Наконец, изменим константу в уравнении на -1 (последнее уравнение). Щелкнем вне блока и получим сообщение об ошибке:

mathcad_23_08

Решения нет. Изменим константу обратно на 0.5.

Вывод решения

Переменные в блоке решений локальны. Вы не можете использовать их значения вне блока. Вернемся к уравнению, где приближенное значение задано 1.3. Мы решили уравнение, чтобы найти более точное решение x=1.366. Однако если мы попробуем вывести значение x, мы получим вектор, которые определили для нашего графика.

Если Вы хотите использовать результат решения в дальнейших вычислениях, нужно присвоить функцию решателя переменной:

mathcad_23_09

Тогда получим верный результат:

mathcad_23_10

Решение систем уравнений

Для примера решим систему трех уравнений: два линейных и одно кубическое. Здесь три неизвестных – начальное приближение даем для всех трех:

mathcad_23_11

Все три ответа можно вывести в вектор:

mathcad_23_12

Удалите последнее из трех уравнений. Решение все равно будет найдено, с учетом двух оставшихся уравнений:

mathcad_23_13

Однако, такое решение может быть не тем, которое Вам нужно.

Обратите внимание еще на некоторые детали. В блоке решения используются два вида знака «равно»: знак присваивания для начальных приближений и для решателя Find, и знак булева равенства в уравнении. Эта разница очень важна. Еще один момент – щелкните по слову Find в области решателя, откройте вкладку Математика. В строке Обозначения должно быть отмечено «Ключевое». Некоторые другие ключевые слова мы рассмотрим в последующих уроках.

Растворимость вещества

Рассмотрим растворение вещества DOH. Это двухстадийный процесс: сначала растворяется твердая фаза, затем растворенные части диссоциируют на D и OH. Малую растворимость можно повысить, добавив небольшое количество сильной кислоты HA. Она диссоциирует, и ионы водорода вступают в реакцию с гидроксильной группой:

mathcad_23_14

Как зависит общая растворимость D от количества добавленной кислоты? Концентрацию будем считать в моль/л. Концентрация насыщения нерастворенной кислоты:

mathcad_23_15

Начнем с концентрации кислоты:

mathcad_23_16

Константы равновесия реакции:

mathcad_23_17

Блок решения начинается с трех неизвестных и их начальных приближений:

mathcad_23_18

Решение:

mathcad_23_19

Общая концентрация вещества:

mathcad_23_20

Расчет для построения графика (подробнее о таких расчетах поговорим в следующем уроке):

mathcad_23_21

График показывает концентрацию как функцию от количества добавленной кислоты. Концентрация ионов водорода на порядки меньше, чем концентрации других элементов. Поэтому мы изменили масштаб в миллион раз, чтобы показать этот график в тех же осях:

mathcad_23_22

Если концентрация кислоты мала, решение содержит низкую концентрацию DOH, которая диссоциирует только частично. При увеличении концентрации кислоты, все больше и больше вещества диссоциирует.

Резюме

  1. Если есть уравнение или система уравнений, Вы можете дать приближенное решение, а Mathcad улучшит эту оценку. Такой способ используется в Блоке решения.
  2. Первая часть блока решения – начальные приближения, т.е. Ваши оценки. Здесь используется знак присваивания «:=». Эти значения могут быть помещены и до блока.
  3. В области «Ограничения» (уравнения) нужно использовать булево равенство [Ctrl+=]. Это единственный знак, по обе стороны от которого могут быть выражения.
  4. Блок решения заканчивается функцией для решения. Мы рассмотрели Find(), которая содержит неизвестные, которые нужно найти.
  5. Чтобы использовать результат решения в дальнейших расчетах, присвойте Find() переменной. Это может быть как одна переменная, так и вектор.
  6. Для решения системы нелинейных уравнений нужно быть внимательным. Число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Кроме того, приближенные значения должны быть как можно ближе к решению.
  7. Если решение не было найдено, не спешите обвинять Mathcad. Нелинейные уравнения являются головной болью для любого языка программирования. Попробуйте понять поведение Ваших уравнений, прежде чем приступать – часто уравнения могут не иметь решения.