Урок 22. Линейные уравнения в Mathcad

В этом уроке мы рассмотрим применение векторов и матриц, а именно решение систем линейных уравнений.

Пример

Есть система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Традиционный метод решения таких систем – последовательное исключение переменных. Например, мы можем сложить (1) и (3), затем (2) и (3):

Из уравнения (5):

Затем, используя (4):

Наконец, из (1):

Итак, получили:

Линейные уравнения можно решить с помощью векторов и матриц. Запишем левую часть уравнений (1), (2) и (3) как произведение матрицы коэффициентов A на вектор решений X:

Убедитесь, что элементы матрицы A совпадают с коэффициентами системы уравнений. Правую часть запишем как вектор решений:

Краткая запись системы уравнений:

Тогда решение можно найти:

Такую запись можно применять к сколь угодно большим системам, будь там три, сорок или десять тысяч уравнений. Запомните, что решение есть произведение обратной матрицы коэффициентов и вектора результатов, при этом важна их последовательность. Такой метод решения не самый эффективный, но он хорош для решения многих задач.

Расчет цепи постоянного тока

Цепь состоит из резисторов и источников ЭДС. Необходимо определить токи во всех ветвях цепи:

Примем значения сопротивлений и ЭДС:

Запишем уравнения для контуров I, II и III, исходя из второго правила Кирхгофа:

Для узлов a, b и c запишем уравнения по первому правилу Кирхгофа:

Запишем матрицу A, содержащую коэффициенты при токах, а в вектор b – правые части уравнений:

Решение системы уравнений:

Решение X можно найти по-другому – с помощью функции lsolve(A,B):

Линейные уравнения

С линейными уравнениями обычно не возникает проблем, но есть несколько вещей, о которых следует знать. Продемонстрируем их на системе двух уравнений:

Можно записать как:

Решение – точка (0,1), и здесь проблем не возникло:

Это обычный случай. Интересно вычислить определитель матрицы коэффициентов:

Он не равен нулю. Теперь поменяем второе уравнение системы и попробуем найти решение:

Система имеет бесконечное множество решений:

Определитель матрицы коэффициентов:

Он равен нулю. При попытке решить систему Mathcad скажет, что матрица является сингулярной. Здесь два уравнения идентичны, но результат будет тот же, если одно из уравнений кратно другому. Такие уравнения называются линейно зависимыми.

В третьем варианте изменим константу во втором уравнении:

Здесь нет решений: две прямые параллельны:

Как Вы догадывались, определитель снова равен нулю:

Поведение большего числа уравнений аналогично.

Таким образом, если определитель равен нулю, возникает проблема, которую часто сложно распознать. При записи большой системы уравнений легко ошибиться и, например, дважды записать одно уравнение.

Если в коэффициентах присутствует погрешность округления, Mathcad может принять эти два уравнения за разные. Ответ будет получен, но результат будет неверным.

Резюме

1. Система линейных уравнений обычно имеет своим решением столько переменных, сколько самих уравнений.
2. Небольшие системы линейных уравнений могут быть решены последовательным исключением переменных.
3. Для больших систем уравнений нужна краткая запись. Мы использовали векторы и матрицы. Левая часть уравнений является произведением матрицы коэффициентов A на вектор решений x, правая часть – это вектор решений b. Решение: .
4. С помощью матриц и векторов мы решили задачу цепи постоянного тока.
5. Решение не будет найдено, если матрица коэффициентов сингулярна.